Question

已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，離心率e=

3

2

．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|等于橢圓的短軸長(zhǎng)，求m的值；
（3）以此橢圓的上頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求橢圓的方程即是求a，b兩參數(shù)的值，由題設(shè)條件橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，離心率e=

3

2

求出a，b即可得到橢圓的方程．
（2）本題中知道了直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|等于橢圓的短軸長(zhǎng)，故可由弦長(zhǎng)公式建立方程求出參數(shù)m的值．首先要將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用弦長(zhǎng)公式建立方程；
（3）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＜0），則BC邊所在直線的方程為y=-

1

k

x+1，將此兩直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，分別解出A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出兩線段AB，BC的長(zhǎng)度，由兩者相等建立方程求參數(shù)k，由解的個(gè)數(shù)判斷三角形的個(gè)數(shù)即可．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），…（1分）
則c=

3

，

c

a

=

3

2

，…（2分）∴a=2，b²=a²-c²=1…（3分）
∴所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）由

y=x+m x2+4y2=4

，消去y，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，…（6分）
則△=64m²-80（m²-1）＞0得m²＜5（*）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4(m2-1)

5

，y₁-y₂=x₁-x₂，…（7分）
|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(- 8m 5 )2- 16(m2-1) 5 ]

=2…（9分）
解得.m2=

15

8

，滿足（*）
∴m=±

30

4

．…（10分）
（3）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直
或平行于x軸，故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＜0），則BC邊所在直線的方
程為y=-

1

k

x+1，由

y=kx+1 x2+4y2=4

，得A(-

8k

1+4k2

，-

8k2

1+4k2

+1)，…（11分）
∴|AB|=

(- 8k 1+4k2 )2+(- 8k2 1+4k2 )2

=

8|k| 1+k2

1+4k2

，…（12分）
用-

1

k

代替上式中的k，得|BC|=

8 1+k2

4+k 2

，
由|AB|=|BC|，得|k|（4+k²）=1+4k²，…（13分）
∵k＜0，
∴解得：k=-1或k=

-3± 5

2

，
故存在三個(gè)內(nèi)接等腰直角三角形．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的相關(guān)的知識(shí)，如本題中求解的重點(diǎn)是弦長(zhǎng)公式的熟練掌握運(yùn)用，依據(jù)條件進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化，分析出建立方程的依據(jù)很關(guān)鍵，如本題第二小題利用弦長(zhǎng)公式建立方程求參數(shù)，第三小題中利用等腰三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩弦長(zhǎng)AB與BC相等，由此關(guān)系得到斜率k所滿足的方程，將求解有幾個(gè)三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程有幾個(gè)根的問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題中正確轉(zhuǎn)化，充分利用等量關(guān)系是解題的重中之重．本題中轉(zhuǎn)化靈活，運(yùn)算量大，且比較抽象，易出錯(cuò)，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真．