Question

定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有 成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個上界．已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；

（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）;（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)因為為奇函數(shù)，所以利用,求出的值；(2) 在（1）的條件下，證明的單調(diào)性，在恒成立，即,根據(jù)單調(diào)性，可以求出其最大值；(3) 若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，則,將函數(shù)代入，反解,,利用函數(shù)的單調(diào)性求出他們的最大，和最小值，就是的范圍.

試題解析：【解析】
（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，

所以，即，

即，得，而當(dāng)時不合題意，故． 4分

（2）由（1）得：，

下面證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

證明略． 6分

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為，

所以，故函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成集合為． 8分

（3）由題意知，在上恒成立．

，．

在上恒成立．

10分

設(shè)，，，由得,

設(shè)，，

,

所以在上遞減，在上遞增， 12分

在上的最大值為，在上的最小值為 ．

所以實數(shù)的取值范圍為． 14分

考點：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.函數(shù)的最值.