Question

如圖，已知拋物線C：x²=4y，過點M（0，2）任作一直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D（O為坐標原點）．
（1）證明：動點D在定直線上；
（2）作C的任意一條切線l（不含x軸），與直線y=2相交于點N₁，與（1）中的定直線相交于點N₂，證明：|MN₂|²-|MN₁|²為定值，并求此定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)AB的方程為y=kx+2，代入x²=4y，整理得x²-4kx-8=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有：x₁x₂=-8，由直線AO的方程y=

y1

x1

x與BD的方程x=x₂聯(lián)立即可求得交點D的坐標為

x=x2 y= y1x2 x1

，利用x₁x₂=-8，即可求得D點在定直線y=-2（x≠0）上；
（2）依題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于0，設(shè)切線l的方程為y=ax+b（a≠0），代入x²=4y，由△=0化簡整理得b=-a²，故切線l的方程可寫成y=ax-a²．分別令y=2、y=-2得N₁、N₂的坐標為N₁（

2

a

+a，2）、N₂（-

2

a

+a，-2），從而可證|MN₂|²-|MN₁|²為定值8．

解答： （1）證明：依題意，可設(shè)AB的方程為y=kx+2，代入x²=4y，得x²=4（kx+2），即x²-4kx-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有：x₁x₂=-8，
直線AO的方程為y=

y1

x1

x；BD的方程為x=x₂．
解得交點D的坐標為

x=x2 y= y1x2 x1

．
注意到x₁x₂=-8及x12=4y₁，則有y=

y1x1x2

x12

=

-8y1

4y1

=-2，
因此D點在定直線y=-2（x≠0）上．
（2）證明：依題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于0，設(shè)切線l的方程為y=ax+b（a≠0），代入x²=4y得x²=4（ax+b），即x²-4ax-4b=0，
由△=0得（4a）²+16b=0，化簡整理得b=-a²．
故切線l的方程可寫成y=ax-a²．
分別令y=2、y=-2得N₁、N₂的坐標為N₁（

2

a

+a，2）、N₂（-

2

a

+a，-2），
則|MN₂|²-|MN₁|²=(

2

a

-a)2+4²-(

2

a

+a)2=8，
即|MN₂|²-|MN₁|²為定值8．

點評：本題考查拋物線的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，考查特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，屬于難題．