Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為函數(shù)f（x）的圖象上任意不同兩點(diǎn)，若過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線l的斜率恒大于-3，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f（x）的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式，對(duì)m和x進(jìn)行分類討論，分別研究導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0的取值情況，從而得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)斜率公式，得到

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-3恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+3x，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成g′(x)=x-m+

3m

x

≥0在（0，+∞）上恒成立．
解法一：對(duì)m的取值分m＞0，m=0，m＜0三種情況分別研究函數(shù)的恒成立問(wèn)題，分析即可求得m的取值范圍．
解法二：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m(1-

3

x

)≤x在（0，+∞）上恒成立，對(duì)x的取值分類討論，然后利用參變量分離法，轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題，

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=

1

2

x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R，
∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′(x)=x-(3+m)+

3m

x

=

x2-(3+m)x+3m

x

=

(x-3)(x-m)

x

，
①若m≤0，則當(dāng)x＞3時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）為（3，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)；
②若m=3，
∵f′(x)=

(x-3)2

x

≥0恒成立，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）為（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)；
③若0＜m＜3，
當(dāng)0＜x＜m時(shí)，f'（x）＞0，則f（x）為（0，m）上的單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)x＞3時(shí)，f'（x）＞0，則f（x）為（3，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)；
④若m＞3，
當(dāng)0＜x＜3時(shí)，f'（x）＞0，則f（x）為（0，3）上的單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)x＞m時(shí)，f'（x）＞0，則f（x）為（m，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)．
綜合①②③④可得，
當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（3，+∞），
當(dāng)0＜m＜3時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，m），（3，+∞），
當(dāng)m=3時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），
當(dāng)m＞3時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，3），（m，+∞）；
（Ⅱ）依題意，若過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線l的斜率恒大于-3，則有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-3，
當(dāng)x₁＞x₂＞0時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＞-3（x₁-x₂），即f（x₁）+3x₁＞f（x₂）+3x₂，
當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＜-3（x₁-x₂），即f（x₁）+3x₁＜f（x₂）+3x₂，
設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+3x，
∵對(duì)于兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-3恒成立，
∴函數(shù)g(x)=

1

2

x2-mx+3mlnx在（0，+∞）恒為增函數(shù)，
∴g′(x)=x-m+

3m

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
解法一：
①若m＜0時(shí)，g′(

m

m-1

)=

m

m-1

-m+

3m

m m-1

=

m

m-1

+2m-3=

1

m-1

+2m-2＜0，
∴g'（x）≥0不恒成立；
②若m=0時(shí)，g'（x）=x＞0在（0，+∞）上恒成立；
③若m＞0時(shí)，
∵g′(x)=x-m+

3m

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
又∵當(dāng)x＞0時(shí)，x+

3m

x

≥2

3m

，（當(dāng)且僅當(dāng)x=

3m

時(shí)取等號(hào)）
∴2

3m

-m≥0成立，
∴

m

(2

3

-

m

)≥0，解得0＜

m

≤2

3

，即0＜m≤12，
∴m=12符合題意．
綜上所述，當(dāng)0≤m≤12時(shí)，過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線l的斜率恒大于-3．
解法二：
∵g′(x)=x-m+

3m

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴m(

3

x

-1)≥-x在（0，+∞）上恒成立，即m(1-

3

x

)≤x在（0，+∞）上恒成立，
①當(dāng)x=3時(shí)，0≤3恒成立，符合題意；
②當(dāng)0＜x＜3時(shí)，m(1-

3

x

)≤x在（0，+∞）上恒成立，等價(jià)于m≥

x2

x-3

，
設(shè)h(x)=

x2

x-3

，
∵h(yuǎn)（x）為減函數(shù)，h（x）∈（-∞，0），只需m≥0；
（ⅲ）當(dāng)x＞3時(shí)，上式等價(jià)于m≤

x2

x-3

，設(shè)h(x)=

x2

x-3

，則h（x）=

(x-3)2+6(x-3)+9

x-3

=x-3+

9

x-3

+6，當(dāng)x＞3時(shí)，h（x）≥12（當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)等號(hào)成立）．
則此時(shí)m≤12．
在（0，+∞）上，當(dāng)0≤m≤12時(shí)，g′(x)=x-m+

3m

x

≥0成立．過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線l的斜率恒大于-3．
解法三：
在（0，+∞）上，g′(x)=x-m+

3m

x

≥0恒成立，等價(jià)于h（x）=x²-mx+3m≥0在x∈（0，+∞）恒成立，則有
（1）△≤0時(shí)，即m²-12m≤0，所以 0≤m≤12
或（2）△＞0時(shí)，需

m

2

＜0且h（x）＞3m，即3m≥0顯然不成立．
綜上所述，0≤m≤12．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．本題同時(shí)還考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)的恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．屬于難題．