Question

已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y，均有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0

(1)求的值，并判斷f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性(說(shuō)明理由)

(2)一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，它的前n項(xiàng)和是S_n，若a₁＝3，且f(s_n)＝f(a_n)＋f(a_n＋1)－1(n≥2，n∈N^*)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

(3)在(2)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)M，使對(duì)一切正整數(shù)n均成立，若存在，求出M的范圍，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

�、倭�(2分) 　　設(shè)，則 　　令，則 　　∴f(x)在(0，＋∞)為單調(diào)遞增(4分) 　�、诋�(dāng)n≥2時(shí)，由有 　　 　　由在(0，＋∞)單調(diào)遞增有：2sn＝an(an＋1)(6分) 　　則 　　兩式減有： 　　即，由an＞0有： 　　，即數(shù)列{an}以第二項(xiàng)起為等差數(shù)列(7分) 　　∴(8分) 　　③n＝1時(shí)，2×3≥M··5，即(9分) 　　當(dāng)n≥2時(shí)， 　　∴，令(10分) 　　則 　　∴{bn}為遞增數(shù)列 　　∴ 　　∴(12分)