Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴-2ax²，a∈R．
（1）當a≤0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a＜x＜2a時，函數(shù)f（x）存在極小值，求a的取值范圍；
（3）若x∈（0，1]時，函數(shù)f（x）圖象上任一點處的切線斜率均小于4，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）確定函數(shù)在（0，

a

）上存在極小值，結(jié)合a＜x＜2a時，函數(shù)f（x）存在極小值，可得不等式，從而可求a的取值范圍；
（3）若x∈（0，1]時，函數(shù)f（x）圖象上任一點處的切線斜率均小于4，等價于x∈（0，1]時，f′（x）=4x³-4ax＜4恒成立，分離參數(shù)求最值，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x⁴-2ax²，
∴f′（x）=4x³-4ax=4x（x²-a），
∵a≤0，∴x＜0時，f′（x）＜0；
x＞0時，f′（x）＞0，
∴當a≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）．
單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
（2）由（1）知a＞0，函數(shù)在（-∞，-

a

），（0，

a

）上單調(diào)遞減，在（-

a

，0），（

a

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在（0，

a

）上存在極小值，
∵a＜x＜2a時，函數(shù)f（x）存在極小值，
∴

a＞0 2a＜ a

，
∴0＜a＜

1

4

；
（3）由題意，x∈（0，1]時，f′（x）=4x³-4ax＜4恒成立，
∴a＞x2-

1

x

，
令h（x）=x2-

1

x

，
則h′(x)=2x+

1

x2

，
∵x∈（0，1]，
∴h′（x）＞0，
∴函數(shù)h（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴h（x）_max=h（1）=0，
∴a＞0．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的最值，考查分離參數(shù)法的運用，考查學生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．