Question

（2009•鹽城一模）袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為

2

7

．現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止．每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用ξ表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù)．
（Ⅰ）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅲ）求甲取到白球的概率．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出袋中原有n個(gè)白球，寫出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)等可能事件的概率公式得到關(guān)于n的方程，解方程即可；
（II）確定ξ的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可求出隨機(jī)變量ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅲ）甲先取，故甲只有可能在第1次和第3次取球，從而可求甲取到白球的概率．

解答：解：（I）設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知：

2

7

=

C 2 n

C 2 7

，∴n（n-1）=12
解得n=4（舍去n=-3），即袋中原有4白球；
（II）ξ的可能取值為1，2，3，4
P（ξ=1）=

4

7

，P（ξ=2）=

3×4

7×6

=

2

7

，P（ξ=3）=

3×2×4

7×6×5

=

4

35

，P（ξ=4）=

3×2×1×4

7×6×5×4

=

1

35

∴隨機(jī)變量ξ的概率分布列為

ξ	1	2	3	4
P	4 7	2 7	4 35	1 35

∴Eξ=1×

4

7

+2×

2

7

+3×

4

35

+4×

1

35

=

8

5

；
（III）∵甲先取，∴甲只有可能在第1次和第3次取球，
記“甲取到白球”為事件A，P（AA）=P（ξ=1）+P（ξ=3）=

24

35

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求解，考查隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．