選做題：幾何證明選講
如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F，延長CF交AB于E．
（1）求證：E是AB的中點(diǎn)；
（2）求線段BF的長．

【答案】分析：（1）根據(jù)∠CDO=∠FDO，BC是的切線，且CF是圓D的弦，得到，即∠CDO=∠BCE，得到兩個(gè)三角形全等，得到線段相等，得到結(jié)論．
（2）根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，得到兩個(gè)三角形相似，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，根據(jù)所給的長度，代入比例式，得到要求的線段．
解答：（1）證明：連接DF，DO，則∠CDO=∠FDO，
因?yàn)锽C是的切線，且CF是圓D的弦，
所以，即∠CDO=∠BCE，
故Rt△CDO≌Rt△BCE，
所以．…（5分）
所以E是AB的中點(diǎn)．
（2）解：連接BF，
∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB
∴△FEB∽△BEC，
得，
∵ABCD是邊長為a的正方形，
所以．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，考查圓周角定理，本題解題的關(guān)鍵是得到三角形全等和三角形相似，本題是一個(gè)中檔題目．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•順河區(qū)一模）選做題：幾何證明選講
如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F，延長CF交AB于E．
（1）求證：E是AB的中點(diǎn)；
（2）求線段BF的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•陜西一模）（考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)閱記分．）
A．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)A(3，
π
3
)，B(4，
2π
3
)間的距離是
13
13
．
B．（不等式選講選做題）若不等式|x+1|+|x-2|＞5的解集為
（-∞，-2）∪（3，+∞）
（-∞，-2）∪（3，+∞）
．
C．（幾何證明選講選做題）如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且BC=6，∠BAC=120°，則圓O的面積等于
12π
12π
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選做題15.(幾何證明選講選做題)如圖4所示，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點(diǎn)，BC=3.過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD,垂足為D，則∠DAC=_____________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年陜西省高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理卷 題型：填空題

（考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)閱記分．）

    A．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)，間的距離是         ．

    B．（不等式選講選做題）若不等式的解集為          ．

    C．（幾何證明選講選做題）如圖，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)， 且，則圓的面積等于       ．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)九模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

選做題：幾何證明選講
如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F，延長CF交AB于E．
（1）求證：E是AB的中點(diǎn)；
（2）求線段BF的長．

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