Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且9a_n+1a_n-2•a_n+1-4a_n+1=0 （n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過9a_n+1a_n-2•a_n+1-4a_n+1=0可知a_n+1=$\frac{4{a}_{n}-1}{9{a}_{n}-2}$，進而利用a₁=1直接代入計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可猜想a_n=$\frac{2n-1}{6n-5}$，進而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）∵9a_n+1a_n-2•a_n+1-4a_n+1=0，
∴a_n+1=$\frac{4{a}_{n}-1}{9{a}_{n}-2}$，
又∵a₁=1，
∴a₂=$\frac{3}{7}$，a₃=$\frac{5}{13}$，a₄=$\frac{7}{19}$；
（2）由（1）可猜想a_n=$\frac{2n-1}{6n-5}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
①當n=1時，a₁=1結(jié)論顯然成立；
②假設(shè)當n=k時（k∈N⁺）時，結(jié)論成立，即a_k=$\frac{2k-1}{6k-5}$，
則當n=k+1時，有a_k+1=$\frac{4{a}_{k}-1}{9{a}_{k}-2}$=$\frac{4•\frac{2k-1}{6k-5}-1}{9•\frac{2k-1}{6k-5}-2}$=$\frac{2k+1}{6k+1}$=$\frac{2（k+1）-1}{6（k+1）-5}$，
即當n=k+1時命題也成立；
由①②可知a_n=$\frac{2n-1}{6n-5}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．