Question

F₁、F₂是雙曲線

x2

4a2

-

y2

a2

=1(a＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，

PF1

•

PF2

=0，且△F₁PF₂的面積為1，則a的值是

1

．

Answer 1

分析：先根據(jù)雙曲線方程得到a和c的表示式，再根據(jù)雙曲線定義得到|m-n|=2a，結(jié)合∠F₁PF₂=90°可得m²+n²=（2c）²，求出|PF₁|與|PF₂|的積，代入求三角形面積的公式，即可得到結(jié)論，

解答：解：∵F₁、F₂是雙曲線

x2

4a2

-

y2

a2

=1(a＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，
設(shè)雙曲線的點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是m，n
∴根據(jù)雙曲線的定義知m-n=4a，①
∵P為雙曲線上一點(diǎn)，

PF1

•

PF2

=0，
∴m²+n²=20a²  ②
把①平方減去②得，mn=2a²，
∵△F₁PF₂的面積為1，
∴

1

2

×2a2=1
∴a=1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)．在涉及到與焦點(diǎn)有關(guān)的題目時(shí)，一般都用定義求解，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力．