Question

已知函數(shù)f(x)=

1+a•2x

2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性并用定義法證明；
（3）若對任意x∈R⁺不等式f(x+

2

x

-

m

)≤-

1

3

恒成立，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義，列出等式，即可求實數(shù)a的值；
（2）化簡函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，再利用定義進(jìn)行證明；
（3）先化為具體不等式，再分離參數(shù)求最值，即可求實數(shù)m的范圍．

解答：解：（1）由題意，f（-x）=-f（x），
∴

1+a•2-x

2-x+1

=-

1+a•2x

2x+1

∴

a+2-x

2x+1

=-

1+a•2x

2x+1

∴a=-1；
（2）f(x)=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

在R上為減函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2x2+1-2x1+1

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，∴2x2+1-2x1+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上為減函數(shù)；
（3）不等式f(x+

2

x

-

m

)≤-

1

3

恒成立，等價于f(x+

2

x

-

m

)≤f(1)
∵f（x）在R上為減函數(shù)
∴x+

2

x

-

m

≤1
∴

m

≤x+

2

x

-1
∵x＞0，∴x+

2

x

-1≥2

2

-1
∴

m

≤2

2

-1
∴0≤m≤9-4

2

．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查恒成立問題，確定函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為具體不等式是關(guān)鍵，屬于中檔題．