Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mx+nlnx（x＞0，實(shí)數(shù)m，n為常數(shù)）．若n+3m²=0（m＞0），且函數(shù)f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值為0，求m的值．

Answer 1

分析：通過m，n的關(guān)系消去n，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，對m進(jìn)行討論探討函數(shù)在x＞0時的單調(diào)性從而求出其最小值，建立關(guān)于m的方程，可求得m的值．

解答：解：（1）當(dāng)n+3m²=0時，f（x）=x²+mx-3m²lnx．
則f′(x)=2x+m-

3m2

x

=

2x2+mx-3m2

x

=

(2x+3m)(x-m)

x

．
令f'（x）=0，得x=-

3m

2

（舍），x=m．
①當(dāng)m＞1時，

∴當(dāng)x=m時，f_min（x）=2m²-3m²lnm．
令2m²-3m²lnm=0，得m=e

2

3

．
②當(dāng)0＜m≤1時，f'（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)x=1時，f_min（x）=1+m．
令m+1=0，得m=-1（舍）．
綜上所述，所求m為m=e

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握分類討論的思想方法，是個中檔題．