Question

（2012•江西模擬）設函數(shù)f（x）是定義域在（0，+∞）上的單調函數(shù)，對于任意正數(shù)x，y都有f（x，y）=f（x）+f（y），且f（2）=1．
（1）求f(

1

2

)的值；
（2）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中是S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，求得f（1）=0，再令x=2，y=

1

2

，即可求f(

1

2

)的值；
（2）根據f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f[

1

2

a_n（a_n+1）]，函數(shù)f（x）是定義域在（0，+∞）上的單調函數(shù)，數(shù)列{a_n}各項為正數(shù)，可得S_n=

1

2

a_n（a_n+1），再寫一式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0
令x=2，y=

1

2

，則f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）
∵f（2）=1
∴f(

1

2

)=-1
（2）∵f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f[

1

2

a_n（a_n+1）]
∵函數(shù)f（x）是定義域在（0，+∞）上的單調函數(shù)，數(shù)列{a_n}各項為正數(shù)
∴S_n=

1

2

a_n（a_n+1）①
當n=1時，可得a₁=1；
當n≥2時，S_n-1=

1

2

a_n-1（a_n-1+1）②
①-②可得a_n=

1

2

a_n（a_n+1）-=

1

2

a_n-1（a_n-1+1）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0
即a_n-a_n-1=1
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₁=1，d=1；
∴a_n=1+（n-1）×1=n
即a_n=n

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的關系，考查賦值法的運用，考查數(shù)列的通項，屬于中檔題．