已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為4．
（I）求拋物線的方程；
（II）若斜率為-
3
3
的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在直線l的右上方，求證：△MAB的內(nèi)心在直線x=3上；
（III）在（II）中，若∠AMB=60°，求△MAB的內(nèi)切圓半徑長．
分析：（I）根據(jù)拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為4，可得3+
p
2
=4，從而可求拋物線C的方程；
（II）求出M(3，2
3
)，設(shè)l：x=-
3
y+b，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可計算：kMA+kMB=
4
y1+2
3
+
4
y2+2
3
=
4(y1+y2+4
3
)
(y1+2
3
)(y2+2
3
)
=0，從而可得∠AMB的角平分線為x=3；
（III）利用S△MAB=
1
2
|MA||MB|sin60°及S△MAB=
1
2
(|MA|+|MB|+|AB|)r，即可求得△MAB的內(nèi)切圓半徑長．
解答：（I）解：∵拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為4，
∴3+
p
2
=4，∴p=2．
所以拋物線C：y2=4x．（3分）
（II）證明：由（I）得M(3，2
3
)，設(shè)l：x=-
3
y+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y2=4x
x=-
3
y+b
，消去x得y2+4
3
y-4b=0，所以y1+y2=-4
3
，
又KMA=
y1-2
3
x1-3
，KMB=
y2-2
3
x2-3
，y12=4x1，y22=4x2，
所以kMA+kMB=
4
y1+2
3
+
4
y2+2
3
=
4(y1+y2+4
3
)
(y1+2
3
)(y2+2
3
)
=0，
因此∠AMB的角平分線為x=3，即△MAB的內(nèi)心在直線x=3上．（7分）
（III）解：由（II）得，直線MA，MB的傾斜角分別為60°，120°，所以kMA=
3
，kMB=-
3
．
直線MA：y=
3
(x-1)，所以
y2=4x
y=
3
(x-1)
⇒3x2-10x+3=0，x1=
1
3
，xM=3．|MA|=
1+(
3
)2|x1-xM|=
16
3
．
同理x2=
25
3
，|MB|=
32
3
．
設(shè)△MAB的內(nèi)切圓半徑為r，因為|AB|=
1+(-
3
3
)2|x1-x2|=
16
3
3
，
S△MAB=
1
2
|MA||MB|sin60°=
128
3
9
，
所以S△MAB=
1
2
(|MA|+|MB|+|AB|)r=
128
3
9
，
所以r=
8
3
-8
3
（10分）
點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理及正確運(yùn)用三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)． A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一個動點(diǎn)，試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，A為拋物線C上的動點(diǎn)，過A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點(diǎn)P（0，4）與點(diǎn)F的連線恰好過點(diǎn)A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2Px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求證：a2=
16(1-kb)k2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，點(diǎn)M（m，0）在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（II）問是否存在定點(diǎn)M，不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=8x與點(diǎn)M（-2，2），過C的焦點(diǎn)，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若
MA
•
MB
=0，則k=（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案