精英家教網(wǎng)已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，過右焦點(diǎn)F且斜率為
2
的直線l交橢圓E于兩點(diǎn)A，B，若以原點(diǎn)為圓心，
6
3
為半徑的圓與直線l相切
（1）求焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OACB中，頂點(diǎn)C也在橢圓E上，求橢圓E的方程．
分析：（1）設(shè)出直線l的方程，利用以原點(diǎn)為圓心，
6
3
為半徑的圓與直線l相切，建立方程，即可求焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由已知
OC
=
OA
+
OB
得：x3=x1+x2，y3=y1+y2，直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及點(diǎn)C在橢圓上，求出橢圓的幾何量，即可求得橢圓E的方程．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）F（c，0），直線l的方程為y=
2
(x-c)
則
6
3
=
|
2
c|
3
，所以c=1，所以F（1，0）；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
由已知
OC
=
OA
+
OB
得：x3=x1+x2，y3=y1+y2，
由
y=
2
(x-1)
b2x2+a2y2=a2b2
⇒(b2+2a2)x2-4a2x+2a2-a2b2=0，
所以
x1+x2=
4a2
b2+2a2
y1+y2=
2
(x1+x2-2)=
-2
2
b2
b2+2a2
，即
x3=
4a2
b2+2a2
y3=
2
(x1+x2-2)=
-2
2
b2
b2+2a2
，
點(diǎn)C在橢圓上，所以
(
4a2
b2+2a2
)2
a2
+
(
-2
2
b2
b2+2a2
)2
b2
=1，
整理得：16a2+8b2=（2a2+b2）2，
由
2a2+b2=8
a2=1+b2
⇒
a2=3
b2=2
，
所以橢圓方程為
x2
3
+
y2
2
=1．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
2
，橢圓四個頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點(diǎn)B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為M、N．
（1）若過兩個切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點(diǎn)到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點(diǎn)為F1(-
3
，0)，而且過點(diǎn)H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

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同步練習(xí)冊答案