已知函數(shù)f(x)=lnx.
(1)若函數(shù)F(x)=mf(x)+3x-2x2在x=1處取得極值,求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)G(x)=f(x)+
2a(1-x)1+x
,若對(duì)任意x∈(0,1),都有G(x)<0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)因?yàn)楹瘮?shù)一個(gè)極值點(diǎn)已知,令f′(x)=0,把x=1代入求出m,再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,f′(x)大于零和小于零分別求出遞增和遞減區(qū)間即可;
(2)先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m(x)=x2+(2-4a)x+1<0對(duì)x∈(0,1)恒成立,再把m(x)=x2+(2-4a)x+1看成x的二次函數(shù),找到m(x)<0恒成立的條件,解之即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)函數(shù)F(x)=mlnx+3x-2x2,其定義域?yàn)椋?,+∞)
F'(x)=
-4x2+3x+m
x
 由 F'(1)=0 得:m=1    …(2分)
∴F'(x)=
-4x2+3x+1
x
=
-(4x+1)(x-1)
x

當(dāng)x∈(0,1),F(xiàn)'(x)>0,函數(shù)F(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(1,+∞),F(xiàn)'(x)<0,函數(shù)F(x)單調(diào)遞減,
∴函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1);函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞)…(6分)
(2)∵G'(x)=
x2+(2-4a)x+1
x(1+x)2
               …(7分)
設(shè)m(x)=x2+(2-4a)x+1,方程m(x)=0的判別式△=16a(a-1).
若a∈(0,1],△≤0,m(x)≥0,G'(x)≥0,G'(x)在(0,1)上是增函數(shù),
又G(1)=0,所以x∈(0,1),G(x)<0.…(9分)
若a∈(1,+∞),∵△>0,m(0)=1>0,m(1)=4(1-a)<0,
∴g(x)在(0,1)上不是單調(diào)函數(shù).
所以存在x0∈(0,1),使得m(x0)=0,對(duì)任意x∈(x0,1),m(x)<0,
即G'(x)<0,G(x)在(x0,1)上是減函數(shù),
又G(1)=0,所以x∈(x0,1),G(x)<0.不合題意.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1]…(12分)
點(diǎn)評(píng):考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱(chēng)直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱(chēng)直線AB存在“中值伴侶切線”.試問(wèn):當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為(  )

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已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫(xiě)出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱(chēng)軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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