已知橢圓:與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且橢圓的離心率，又為橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)（異于）.

(1)求橢圓的方程；

（2）若直線交直線于點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線交軸于點(diǎn)，求的坐標(biāo)；

（3）求點(diǎn)在直線上射影的軌跡方程.

 

【答案】

（1）；（2）；（3）

【解析】(1) 由題意知,易知橢圓方程為

(2)本小題的求解要注意利用平面幾何的性質(zhì)得到，另外要注意應(yīng)用,點(diǎn)M在橢圓上等幾何要素建立方程求解即可.

(3) 點(diǎn)在直線上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H，由得為直角三角形，設(shè)E為中點(diǎn)，則==，，因此H點(diǎn)的軌跡是以E為圓心，半徑為的圓去掉與x軸的交點(diǎn).   

解：(Ⅰ)由題意知,故橢圓方程為              3分

 (Ⅱ)設(shè)，則由圖知，得,故.

設(shè),由得：， .

又在橢圓上，故，化簡(jiǎn)得，即               8分

(Ⅲ)點(diǎn)在直線上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H，由得為直角三角形，設(shè)E為中點(diǎn)，則==，，因此H點(diǎn)的軌跡方程為

                                                 13分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P是C1與C2的一個(gè)公共點(diǎn)，△PF1F2是一個(gè)以PF1為底的等腰三角形，，|PF1|=4，C1的離心率為
37
，則C2的離心率為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：湖南省師大附中2011－2012學(xué)年度高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文科試題(人教版) 題型：044

已知橢圓：與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且離心率為．A，B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)．點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)．直線AS，BS分別與直線l：分別交于M，N兩點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)延長(zhǎng)MB交橢圓C于點(diǎn)P，若PS⊥AM，試證明MS2＝MB·MP．

(3)當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在點(diǎn)T，使得△TSB的面積為？若存在確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(本小題滿分14分)

已知橢圓G與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)．

(1)求橢圓G的方程；

(2)設(shè)、是橢圓G的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)的內(nèi)切圓M的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：云南省昆明三中、滇池中學(xué)09-10學(xué)年高二上學(xué)期期末考試（理） 題型：填空題

 已知橢圓+=1()與雙曲線()有共同的焦點(diǎn)F1、F2 ，P是橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|=          。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：云南省昆明三中、滇池中學(xué)09-10學(xué)年高二上學(xué)期期末考試 題型：填空題

 已知橢圓+=1()與雙曲線()有共同的焦點(diǎn)F1、F2 ，P是橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|=          。

 

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