Question

a為實(shí)數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，對(duì)于n=1，2，3…，
（1）0＜a_n＜2時(shí)，證明0＜a_n+1＜2；
（2）a滿足0＜a＜1，求a_n（n=1，2，3…）；
（3）k為自然數(shù)，求使a_n+k=a_n（n=1，2，3…），成立的所有k與a．

Answer 1

（1）證明：當(dāng)0＜a_n≤1時(shí)，a_n+1=-a_n+2，1≤-a_n+2＜2，∴1≤a_n+1＜2；
當(dāng)1＜a_n＜2時(shí)，a_n+1=a_n-1，0＜a_n-1＜1，∴0＜a_n+1＜1；
∴0＜a_n＜2時(shí)，0＜a_n+1＜2；
（2）解：0＜a＜1時(shí)，a₂=-a₁+2=-a+2＞1，a₃=a₂-1=-a+1＜1，a₄=-a₃+2=a+1＞1，a₅=a₄-1=a
∴a₅=a₁，∴數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列
∴a_n=（l∈N₊）
（3）解：由（2）知，0＜a＜1時(shí)，a₅=a₁，數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列，
若a₃=a₁，∴1-a=a，∴，2也是周期，而a₂，a₁范圍不同，不可能相等，所以
①0＜a＜1且時(shí)，k=4m；
②，k=2m，
而1＜a＜2時(shí)，a₂=a-1∈（0，1），a₃=2-a₂=3-a∈（1，2），a₄=a₃-1=2-a∈（0，1），a₅=2-a₄=a，同上4為一個(gè)周期，時(shí)，2也是周期；
③1＜a＜2且a≠時(shí)，k=4m
④a=時(shí)，k=2m
⑤a=1時(shí)，有a₂=a₁=1，為常數(shù)列；
⑥若a≥2時(shí)，由題意知，存在k（k≥2），使得數(shù)列{a_n}中前k-1項(xiàng)成公差為-1的遞減數(shù)列且都大于2，而第k項(xiàng)a_k∈（0，2），由（1）知第k項(xiàng)a_k后的所有項(xiàng)a_k∈（0，2），（n≥k），所以不存在k為自然數(shù)，求使a_1+k=a₁，故此種情形不成立；
⑦若a≤0，則a₂≥2，由④可知，自a₂起所有項(xiàng)a_n＞0，所以不存在k為自然數(shù)，求使a_1+k=a₁，故此種情形不成立；
綜上，①0＜a＜1且時(shí)，k=4m；②，k=2m，③1＜a＜2且a≠時(shí)，k=4m，④a=時(shí)，k=2m．
分析：（1）當(dāng)0＜a_n≤1時(shí)，a_n+1=-a_n+2，可得1≤a_n+1＜2；當(dāng)1＜a_n＜2時(shí)，a_n+1=a_n-1，可得0＜a_n+1＜1；
（2）0＜a＜1時(shí)，a₂=-a₁+2=-a+2＞1，a₃=a₂-1=-a+1＜1，a₄=-a₃+2=a+1＞1，a₅=a₄-1═a₁，由此可得a_n；
（3）由（2）知，0＜a＜1時(shí)，a₅=a₁，數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列，若a₃=a₁，則，2也是周期，而a₂，a₁范圍不同，不可能相等，所以分類討論，從而可求所有k與a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．