Question

在三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，棱AA₁與底面ABC垂直，△ABC為等腰直角三角形，

AB＝AC＝AA₁，D，E，F分別為B₁A，C₁C，BC的中點．

(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求證：平面AB₁F⊥平面AEF．

        

Answer 1

 (1)證明：取AB的中點為G，連接DG，GC.

∵D是AB₁的中點，∴DG∥BB₁，且DG＝BB₁，

又∵BB₁∥CC₁，CE＝CC₁，

∴DG∥CE且DG＝CE，

∴四邊形DECG是平行四邊形，

∴DE∥GC，又∵DE平面ABC，GC平面ABC，∴DE∥平面ABC.

(2)∵△ABC為等腰直角三角形，F為BC的中點，∴BC⊥AF，

由題意知，B₁B⊥平面ABC，∴B₁B⊥AF，又∵B₁B∩BC＝B，

∴AF⊥平面B₁BF，∴AF⊥B₁F，設AB＝AA₁＝2，則B₁F＝，EF＝，B₁E＝3，故B₁E²＝B₁F²＋EF²，∴B₁F⊥EF，又∵AF∩EF＝F，

∴B₁F⊥平面AEF，又∵B₁F平面AB₁F，∴平面AB₁F⊥平面AEF.