Question

如圖，有一邊長為2米的正方形鋼板缺損一角(圖中的陰影部分)，邊緣線是以直線為對稱軸，以線段的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來，使剩余的部分成為一個直角梯形．

（Ⅰ）請建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求陰影部分的邊緣線的方程;
（Ⅱ）如何畫出切割路徑，使得剩余部分即直角梯形的面積最大？
并求其最大值．

Answer 1

(I) .(Ⅱ)當(dāng)時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.  

試題分析：(I)以為原點(diǎn)，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

依題意
可設(shè)拋物線弧的方程為
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∴，
故邊緣線的方程為.
(Ⅱ)要使梯形的面積最大，則所在的直線必與拋物線弧相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，   ∵，
∴直線的的方程可表示為，即 ， 由此可求得，.
，   ，
設(shè)梯形的面積為，則
. ∴當(dāng)時，
故的最大值為. 此時.
答：當(dāng)時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.  
點(diǎn)評：解應(yīng)用題常用的方法是依據(jù)題意建立等量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，而有些應(yīng)用題有明顯的幾何意義，可以考慮利用解析法根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，構(gòu)造曲線方程，利用曲線的性質(zhì)進(jìn)行求解．