分析 (1)求出原函數(shù)的導函數(shù),由題意可得f′(x)≥對任意x∈(1,4)恒成立,分離參數(shù)a,可得-a≤(x+1)2x,利用導數(shù)求出函數(shù)g(x)=(x+1)2x在(1,4)上的最小值得答案;
(2)設出切點坐標,求出函數(shù)在切點處的導數(shù),可得切線斜率,再由兩函數(shù)在切點處的函數(shù)值相等求得a的值.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=lnx+axx+1,
則f′(x)=1x+a(x+1)2,
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞增,
∴1x+a(x+1)2≥0在x∈(1,4)上恒成立.
即-a≤(x+1)2x在x∈(1,4)上恒成立.
令g(x)=(x+1)2x,則g′(x)=x2−1x2.
當x∈(1,3)時,g′(x)>0,當x∈(3,4)時,g′(x)<0.
∴g(x)在(1,3)上為增函數(shù),在(3,4)上為減函數(shù),
∴g(x)min=g(1)=4.
則a≥-4;
(2)設切點坐標為(x0,y0),則f′(x0)=1x0+a(x0+1)2,
則1x0+a(x0+1)2=2
f(x0)=lnx0+ax0x0+1=2x0,②
聯(lián)立①,②解得:x0=1,a=4.
點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,訓練了恒成立問題的求解方法,考查計算能力,屬中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | x2+y2=8 | B. | x2+y2=1 | C. | x2-y2=1 | D. | x24+y23=1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 23 | B. | 12 | C. | 13 | D. | 14 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | {2,4,5} | B. | {3,4,5} | C. | {4,5} | D. | (2,4) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 12 | B. | -12 | C. | -1 | D. | 1 |
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