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14.已知函數(shù)f(x)=lnx+axx+1(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=2x相切,求a的值.

分析 (1)求出原函數(shù)的導函數(shù),由題意可得f′(x)≥對任意x∈(1,4)恒成立,分離參數(shù)a,可得-a≤x+12x,利用導數(shù)求出函數(shù)g(x)=x+12x在(1,4)上的最小值得答案;
(2)設出切點坐標,求出函數(shù)在切點處的導數(shù),可得切線斜率,再由兩函數(shù)在切點處的函數(shù)值相等求得a的值.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=lnx+axx+1,
則f′(x)=1x+ax+12,
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞增,
1x+ax+12≥0在x∈(1,4)上恒成立.
即-a≤x+12x在x∈(1,4)上恒成立.
令g(x)=x+12x,則g′(x)=x21x2
當x∈(1,3)時,g′(x)>0,當x∈(3,4)時,g′(x)<0.
∴g(x)在(1,3)上為增函數(shù),在(3,4)上為減函數(shù),
∴g(x)min=g(1)=4.
則a≥-4;
(2)設切點坐標為(x0,y0),則f′(x0)=1x0+ax0+12,
1x0+ax0+12=2
f(x0)=lnx0+ax0x0+1=2x0,②
聯(lián)立①,②解得:x0=1,a=4.

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,訓練了恒成立問題的求解方法,考查計算能力,屬中檔題.

練習冊系列答案
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