Question

甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判．設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判．
（1）求第4局甲當(dāng)裁判的概率；
（2）用X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）根據(jù)題意，甲第一局當(dāng)裁判，則第二局一定是參加比賽，第四局當(dāng)裁判，說明第三局繼續(xù)參加比賽，所以，甲參加了第二、三兩局的比賽，且第二局勝，第三局負(fù).
（2）根據(jù)題意，在四局比賽中，乙參賽的情況與比賽結(jié)果可用下表表示五種情況：

	第一局	第二局	第三局	第四局	當(dāng)裁判次數(shù)
1	參賽（勝）	參賽（勝）	參賽（勝）	參賽	0
2	參賽（勝）	參賽（勝）	參賽（負(fù)）	裁判	1
3	參賽（勝）	參賽（負(fù)）	裁判	參賽	1
4	參賽（負(fù)）	裁判	參賽（勝）	參賽	1
5	參賽（負(fù)）	裁判	參賽（負(fù)）	裁判	2

由此明確的所有可能的值，以及對(duì)應(yīng)每個(gè)取值的含義，求出的分布列，進(jìn)而求出的值.
試題解析：（1）記A₁表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，
A₂表示事件“第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)”，
A表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”．
則A＝A₁·A₂．
P(A)＝P(A₁·A₂)＝P(A₁)P(A₂)＝．                  4分
（2）X的可能取值為0，1，2．
記A₃表示事件“第3局乙和丙比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝丙”，
B₁表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”，
B₂表示事件“第2局乙和甲比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝甲”，
B₃表示事件“第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙負(fù)”．
則P(X＝0)＝P(B₁·B₂·A₃)＝P(B₁)P(B₂)P(A₃)＝，
P(X＝2)＝P(B₁·B₃)＝P(B₁)P(B₃)＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝．
∴X的分布列為

X	0	1	2
P

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝．                  12分