Question

已知函數(shù)f（x）=
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=0恰有三個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值點(diǎn)，從而求出極值；
（II）先求出極大值與極小值，要使函數(shù)y=f（x）的圖象與值線y=0恰有三個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）的極大值大于零，極小值小于零即可．
解答：解：（I）f′（x）=x²-ax-2a²，令f′（x）=x²-ax-2a²=0，則  x=-a或x=2a
f′（x）=x²-ax-2a²＞0時(shí)，x＜-a或x＞2a
∴當(dāng)x＜-a時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)-a＜x＜2a時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞2a時(shí)，f′（x）＞0
∴x=-a時(shí)，f（x）取得極大值f（-a）=，
x=2a時(shí)，f（x）取極小值f（2a）=
（II）要使函數(shù)y=f（x）的圖象與值線y=0恰有三個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）的極大值大于零，極小值小于零，
由（1）的極值可得 解之得
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)圖象的性質(zhì)，屬于中檔題．