Question

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x）+f（1-x）=1．
（1）求f(

1

2

)和f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∈N*)的值；
（2）若數(shù)列{an}滿足an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)（n∈N*），求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n是數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的和，是否存在正實(shí)數(shù)k，使不等式knS_n＞4b_n對(duì)于一切的n∈N^*恒成立？若存在指出k的取值范圍，并證明；若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：由題設(shè)知，處變量的和為1，則函數(shù)值和為1．對(duì)于（1）令x=

1

2

可以求得f（

1

2

）值，令x=

1

n

可以求得f（

1

n

）+f（

n-1

n

）的值．
對(duì)于（2）觀察通項(xiàng)的形式，可以用倒序相加法求出通項(xiàng)的方程．求出a_n的值．
對(duì)于（3）可以看出，本題是一個(gè)對(duì)存在性問(wèn)題的探究，其前提是解出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，觀察其形式可以看出，就用錯(cuò)位相減法求和，代入不等式，可得到一關(guān)于n的一元二次不等式恒成立，由單調(diào)性判斷可得出關(guān)于參數(shù)k的不等式．

解答：解：（1）令x=

1

2

，f(

1

2

)+f(1-

1

2

)=1，∴f(

1

2

)=

1

2

，
令x=

1

n

，f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=1
（2）∵an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)+f(1)①
∴an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)+f(0)②
由（Ⅰ），知f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=1
∴①+②，得2an=(n+1)．∴an=

n+1

2

．
（3）∵b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，∴b_n=（n+1）•2ⁿ
∴S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，①
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
即S_n=n•2ⁿ⁺¹
要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，
即kn²-2n-2＞0對(duì)于一切的n∈N^*恒成立，n=1時(shí)，k-2-2＞0成立，即k＞4
設(shè)g（n）=kn²-2n-2
當(dāng)k＞4時(shí)，由于對(duì)稱軸直線n=

1

k

＜1，
且g（1）=k-2-2＞0，而函數(shù)f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，
∴不等式knS_n＞b_n恒成立
即當(dāng)實(shí)數(shù)k大于4時(shí)，不等式knS_n＞b_n對(duì)于一切的n∈N^*恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是恒等式的意義與錯(cuò)位相減法求和，以及不等式恒成立時(shí)怎么根據(jù)其形式求最值．考查了變形能力以及結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)不等式恒成立的條件作出判斷的能力．