設(shè)函數(shù),其中為正整數(shù).

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并就的情形證明你的結(jié)論;

(2)證明:

(3)對(duì)于任意給定的正整數(shù),求函數(shù)的最大值和最小值.

解答:本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、證明以及三角函數(shù)的最值等綜合問題.

    (1)上均為單調(diào)遞增的函數(shù).

    對(duì)于函數(shù),設(shè) ,則

    

   ∵,

   ∴∴函數(shù)上單調(diào)遞增

(2)∵原式左邊

                     

    

     

    又∵原式右邊.

    ∴.

(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)上單調(diào)遞增,

    ∴的最大值為,最小值為.

    當(dāng)時(shí),,∴函數(shù)的最大、最小值均為1.

    當(dāng)時(shí),函數(shù)上為單調(diào)遞增.

    ∴的最大值為,最小值為.

    當(dāng)時(shí),函數(shù)上單調(diào)遞減,

    ∴的最大值為,最小值為.

    下面討論正整數(shù)的情形:

    當(dāng)為奇數(shù)時(shí),對(duì)任意

    ∵,

    以及 ,

    ∴,從而 .

    ∴上為單調(diào)遞增,則

    的最大值為,最小值為

    當(dāng)為偶數(shù)時(shí),一方面有 .

    另一方面,由于對(duì)任意正整數(shù),有

    ,

    ∴.

    ∴函數(shù)的最大值為,最小值為

    綜上所述,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),函數(shù)的最大值為,最小值為.當(dāng)為偶數(shù)時(shí),函數(shù)的最大值為,最小值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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設(shè)函數(shù),其中為正整數(shù).

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若數(shù)列滿足,則稱數(shù)列平方遞推數(shù)列.已知數(shù)列,,點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,其中為正整數(shù).

1)證明數(shù)列平方遞推數(shù)列,且數(shù)列為等比數(shù)列;

2設(shè)(1)中平方遞推數(shù)列的前項(xiàng)積為,

,求;

3)在(2)的條件下,記,求數(shù)列的前項(xiàng)和,并求使的最小值

 

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設(shè)函數(shù),其中為常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求的極值點(diǎn)并判斷是極大值還是極小值;

(Ⅲ)求證對(duì)任意不小于3的正整數(shù),不等式都成立.

 

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