Question

有編號(hào)分別為1、2、3、4的四個(gè)盒子和四個(gè)小球，把小球全部放入盒子．問(wèn)：
（1）共有多少種放法？
（2）恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？
（3）恰有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，有多少種放法？

Answer 1

解：（1）本題要求把小球全部放入盒子，
∵1號(hào)小球可放入任意一個(gè)盒子內(nèi)，有4種放法．
同理，2、3、4號(hào)小球也各有4種放法，
∴共有4⁴=256種放法．
（2）∵恰有一個(gè)空盒，則這4個(gè)盒子中只有3個(gè)盒子內(nèi)有小球，
且小球數(shù)只能是1、1、2．
先從4個(gè)小球中任選2個(gè)放在一起，有C²₄種方法，
然后與其余2個(gè)小球看成三組，分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子中，有A³₄種放法．
∴由分步計(jì)數(shù)原理知共有C²₄A³₄=144種不同的放法．
（3）恰有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，也就是把4個(gè)小球只放入2個(gè)盒子內(nèi)，有兩類放法：
①一個(gè)盒子內(nèi)放1個(gè)球，另一個(gè)盒子內(nèi)放3個(gè)球．
先把小球分為兩組，一組1個(gè)，另一組3個(gè)，有C¹₄種分法，
再放到2個(gè)盒子內(nèi)，有A²₄種放法，
共有C¹₄A²₄種方法；
②2個(gè)盒子內(nèi)各放2個(gè)小球．先從4個(gè)盒子中選出2個(gè)盒子，有C²₄種選法，
然后把4個(gè)小球平均分成2組，每組2個(gè)，放入2個(gè)盒子內(nèi)，也有C²₄種選法，
共有C²₄C²₄種方法．
∴由分類計(jì)數(shù)原理知共有C¹₄A²₄+C²₄C²₄=84種不同的放法．
分析：（1）本題要求把小球全部放入盒子，1號(hào)小球可放入任意一個(gè)盒子內(nèi)，有4種放法．余下的2、3、4號(hào)小球也各有4種放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（2）恰有一個(gè)空盒，則這4個(gè)盒子中只有3個(gè)盒子內(nèi)有小球，且小球數(shù)只能是1、1、2．先從4個(gè)小球中任選2個(gè)放在一起，與其他兩個(gè)球看成三個(gè)元素，在三個(gè)位置排列．
（3）恰有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，也就是把4個(gè)小球只放入2個(gè)盒子內(nèi)，有兩類放法：一個(gè)盒子內(nèi)放1個(gè)球，另一個(gè)盒子內(nèi)放3個(gè)球；
2個(gè)盒子內(nèi)各放2個(gè)小球．寫出組合數(shù)，根據(jù)分類加法得到結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查計(jì)數(shù)問(wèn)題，考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，排列問(wèn)題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時(shí)要先考慮有限制條件的元素．