【題目】定義在上的函數(shù)滿足:對(duì)任意的實(shí)數(shù)存在非零常數(shù),都有成立.

(1)當(dāng)時(shí),, ,求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域;

(2)設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?/span>,證明:函數(shù)為周期函數(shù).

【答案】(1) (2) 見(jiàn)解析

【解析】分析:(1)利用,分別求得函數(shù)在區(qū)間上的表達(dá)式,并求得其值域.(2)首先判斷出值域相同.當(dāng)時(shí),利用求得的值,并利用周期性的定義證明得函數(shù)是周期為的周期函數(shù).同理可證明當(dāng),函數(shù)也為周期函數(shù).

詳解:

(1)當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),即

,則,

當(dāng)時(shí),即,

,則,

當(dāng)時(shí),,

,

綜上得函數(shù)在閉區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.

(2)(證法一)由函數(shù)的值域?yàn)?/span>得, 的取值集合也為,

當(dāng)時(shí),,.

,

則函數(shù)是以為周期的函數(shù).

當(dāng)時(shí), ,,.

,則函數(shù)是以為周期的函數(shù).

故滿足條件的函數(shù)為周期函數(shù).

(證法二)由函數(shù)的值域?yàn)?/span>,必存在,使得

當(dāng)時(shí),對(duì),,

對(duì),,則不可能;

當(dāng)時(shí),即, ,

的值域?yàn)?/span>得,必存在,使得,

仿上證法同樣得也不可能,則必有 ,以下同證法一.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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