如圖所示，已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；

(2)如果橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：存在實(shí)數(shù)，使．

答案：
解析：

(1)解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2，0)，

　　則橢圓方程為

∵O為橢圓中心，∴由對(duì)稱性知|OC|＝|OB|

　　又∵，∴AC⊥BC

　　又∵|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|

　　∴△AOC為等腰直角三角形

　　∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，1)　∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，－1)

將C的坐標(biāo)(1，1)代入橢圓方程得，

　　則求得橢圓方程為

(2)證：證：由于∠PCQ的平分線垂直于OA(即垂直于x軸)，

　　不妨設(shè)PC的斜率為k，則QC的斜率為－k，

　　因此PC、QC的直線方程分別為y＝k(x－1)+1，y＝－k(x－1)+1

　　由　得：(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0 *

∵點(diǎn)C(1，1)在橢圓上，∴x＝1是方程(*)的一個(gè)根，

　　∴xP?＝即xP＝

　　同理xQ＝

∴直線PQ的斜率為　　　　又∵，∴向量∥，即總存在實(shí)數(shù)，使成立．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知A，B，C是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2
3
，0)，BC過橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E上存在兩點(diǎn)P，Q，使得∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，試判斷向量
PQ
與
AB
是否共線，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知A、B、C是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的三點(diǎn)，，BC過橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．則橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且
AC
•
BC
=0，|BC|=2|AC|．
（I）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；
（II）如果橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：存在實(shí)數(shù)λ，使
PQ
=λ
AB
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知A，B，C是圓O上三個(gè)點(diǎn)，AB弧等于BC弧，D為弧AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A做圓O的切線交BD延長(zhǎng)線于E
（1）求證：AB平分∠CAE；
（2）若AD•BE=2
6
，∠ADE=30°，求△ABE的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知A、B、C是橢圓E：=1（a＞b＞0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)  

A的坐標(biāo)為（2，0）,BC過橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；

（2）若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，試判斷向量與是否共線，并給出證明.

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