Question

已知f（x）是偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當(dāng)-2≤x≤0時，f（x）=2^x，若n∈N^*，a_n=f（n），則a₂₀₀₉=

1

2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)f（2+x）=f（2-x）⇒f（4+x）=f（-x），再結(jié)合其為偶函數(shù)，得到周期為4；最后結(jié)合當(dāng)-2≤x≤0時，f（x）=2^x，即可求出結(jié)論．

解答：解：因?yàn)閒（2+x）=f（2-x），⇒f（4+x）=f（-x），
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（4+x）=f（x）．
故函數(shù)周期為4．
∴a₂₀₀₉=f（2009）=f（1+4×1002）=f（1）．
∵當(dāng)-2≤x≤0時，f（x）=2^x，
∴f（1）=f（-1）=2^-1=

1

2

．
即  a₂₀₀₉=

1

2

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故答案為：

1

2

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點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性以及周期性的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵在于利用f（2+x）=f（2-x）⇒f（4+x）=f（-x），再結(jié)合其為偶函數(shù)，得到周期為4．