Question

設函數(shù)，其中0＜a＜1，
（1）證明：f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

（1）證明：由1-＞0，得x＞a，所以函數(shù)f（x）的定義域為（a，+∞）．
設a＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-，
因為=＜0，所以1-＜1-，
又0＜a＜1，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)；
（2）f（x）＞1，即＞1，也即即＞log_aa，
又0＜a＜1，所以0＜1-＜a，解得a＜x＜．
所以不等式的解集為：（a，）．
分析：（1）利用減函數(shù)的定義即可證明；
（2）化成同底的對數(shù)式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得真數(shù)的大小關系，解出即可．
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應用，相關性質(zhì)是解決基礎．