Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+$\frac{1}{4}$b²x（a，b∈R），若|a-1|+|b-1|≤1，求f′（x）在R上有零點的概率（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 首先由題意正確求出使f′（x）在R上有零點的a，b的范圍，然后化成可行域，利用面積的關(guān)系其概率．

解答 解：由題意，f'（x）=（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+$\frac{1}{4}$b²x）'=x²+ax+$\frac{1}{4}^{2}$，要使f′（x）在R上有零點則△=a²-b²≥0，即|a|≥|b|，所以0≤b≤|a|或-|a|≤b＜0，
而|a-1|+|b-1|≤1，對應(yīng)的區(qū)域如圖，
由幾何概型的概率公式可得f′（x）在R上有零點的概率為$\frac{1}{2}$；
故選：A．

點評 本題主要考查了幾何概型，本題先要判斷該概率模型，對于幾何概型，它的結(jié)果要通過長度、面積或體積之比來得到，屬于中檔題．