Question

在正項等比數(shù)列{a_n}中，a₄+a₃-a₂-a₁=5，則a₅+a₆的最小值為

20

．

Answer 1

分析：設 a₂+a₁=x，等比數(shù)列的公比為q，由條件求得 x=

5

q2-1

＞0，q＞1，再由a₅+a₆ =xq⁴=

5 •q4

q2-1

=5（ q²-1+

1

q2-1

+1 ），利用基本不等式求出a₅+a₆的最小值．

解答：解：在正項等比數(shù)列{a_n}中，設 a₂+a₁=x，等比數(shù)列的公比為q，則a₄+a₃ =xq²，a₅+a₆ =xq⁴．
再由a₄+a₃-a₂-a₁=5，可得 xq²=5+x，∴x=

5

q2-1

＞0，q＞1．
∴a₅+a₆ =xq⁴ =

5 •q4

q2-1

=5•

q4-1+1

q2-1

=5（ q²+1+

1

q2-1

）=5（ q²-1+

1

q2-1

+2 ）≥5 （2+2）=20，
當且僅當q²-1=1時，等號成立，故a₅+a₆的最小值為20，
故答案為 20．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式以及基本不等式的應用，屬于中檔題．