Question

函數(shù)f（x）=2ax-x²+lnx，a為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=

1

2

時，求f（x）的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），并將其因式分解，再由f′（x）＞0，得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，由f′（x）＜0，得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，繼而得到f（x）的最大值；
（2）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），將函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0，或f′（x）≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立問題，進(jìn)而將不等式參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=

1

2

時，f（x）=x-x²+lnx，則f（x）的定義域?yàn)椋海?，+∞），
∴f′(x)=1-2x+

1

x

=

-(2x+1)(x-1)

x

．
∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1；
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．
∴f（x）的最大值為f（1）=0；
（2）∵f′(x)=2a-2x+

1

x

．
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，
則f′（x）≥0，或f′（x）≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立．
∴2a-2x+

1

x

≥0，或2a-2x+

1

x

≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立．
即2a≥2x-

1

x

，或2a≤2x-

1

x

在區(qū)間[1，2]上恒成立，
設(shè)h(x)=2x-

1

x

，則h′(x)=2+

1

x2

＞0
∴h(x)=2x-

1

x

在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)．
∴h(x)max=h(2)=

7

2

，h(x)min=h(1)=1，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，只需使2a≥

7

2

，或2a≤1即可，
∴a≥

7

4

，或a≤

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的方法，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的重要應(yīng)用；不等式恒成立問題的解法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．