Question

在美化校園的植樹活動中，某同學(xué)共種了6棵樹，各棵樹的成活與否是相互獨立的每棵樹成活的概率均為p．已知該同學(xué)所種樹中有3棵成活的概率為

5

16

．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若有3棵或3棵以上的樹未成活，則需要補種，求需要補種的概率；
（Ⅲ）設(shè)ξ為成活樹的棵數(shù)，求Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）各棵樹成活與否是相互獨立的，每棵樹成活的概率均為p，本題是一個獨立重復(fù)試驗，根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得到等式，解出未知數(shù)即可．
（Ⅱ）有3棵或3棵以上的樹未成活，則需要補種，需要補種包括則包括有：3顆未成活、有4顆未成活、有5顆未成活、有6顆未成活共四種情況，用獨立重復(fù)試驗公式寫出結(jié)果．
（Ⅲ）由題意知，ξ為成活樹的棵數(shù)，各棵樹的成活與否是相互獨立的，得到變量符合二項分布，根據(jù)二項分布寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）∵各棵樹成活與否是相互獨立的，每棵樹成活的概率均為p，
本題是一個獨立重復(fù)試驗，根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得到
∴

C

3 6

p3(1-p)3=

20

64

，解得p=

1

2

（Ⅱ）∵有3棵或3棵以上的樹未成活，則需要補種
記“需要補種”為事件A，則包括有
A₁：3顆未成活、A₂：有4顆未成活、A₃：有5顆未成活、A₄：有6顆未成活共四種情況
P(A1)=

C

3 6

(

1

2

)3(

1

2

)3=

20

64

，
P(A2)=

C

4 6

(

1

2

)4(

1

2

)2=

15

64

P(A3)=

C

5 6

(

1

2

)5(

1

2

)1=

6

64

，P(A4)=

C

6 6

(

1

2

)6(

1

2

)0=

1

64

∴P(A)=

20+15+6+1

64

=

21

32

（Ⅲ）由題意知，ξ服從二項分布B(6，

1

2

)
∴Eξ=np=3，或ξ的分布列為

∴Eξ=0×

1

64

+1×

6

64

+2×

15

64

+3×

20

64

+4×

15

64

+5×

6

64

+6×

1

64

=3

點評：解決離散型隨機(jī)變量分布列問題時，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多．