在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)證明AB⊥平面VAD;
(Ⅱ)求面VAD與面VDB所成二面角的大小。
(Ⅰ)見解析(Ⅱ)
解析試題分析:(Ⅰ)因?yàn)槠矫鎂AD⊥平面ABCD,平面VAD∩平面ABCD=AD,
又AB在平面ABCD內(nèi),AD⊥AB,所以AB⊥平面VAD. …3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥AB,AB⊥AV.
依題意設(shè)AB=AD=AV=1,所以BV=BD=. …6分
設(shè)VD的中點(diǎn)為E,連結(jié)AE、BE,則AE⊥VD,BE⊥VD,
所以∠AEB是面VDA與面VDB所成二面角的平面角. …9分
又AE=,BE=,所以
故,面VAD與面VDB所成二面角的大小為. …12分
(方法二)
(Ⅰ)同方法一. …3分
(Ⅱ)設(shè)AD的中點(diǎn)為O,連結(jié)VO,則VO⊥底面ABCD.
又設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示. …4分
則,A(,0,0), B(,1,0),
D(-,0,0), V(0,0,);
. …7分
由(Ⅰ)知是平面VAD的法向量.設(shè)是平面VDB的法向量,則
…10分
∴
由圖知,面VAD與面VDB所成的二面角為銳角,
故,面VAD與面VDB所成二面角的大小為. …12分
考點(diǎn):本小題主要考查空間中線面垂直的證明以及二面角的求法,考查學(xué)生的空間想象能力及推理論證能力和計(jì)算能力.
點(diǎn)評(píng):本小題的難點(diǎn)在于第二問(wèn)求二面角,用向量法求解二面角時(shí),要正確判斷法向量的方向,同指向二面角內(nèi)或外則向量夾角與二面角互補(bǔ),一個(gè)指向內(nèi)另一個(gè)指向外則相等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,在平行四邊形中,,將它們沿對(duì)角線折起,折后的點(diǎn)變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/cd/4/dqotb1.png" style="vertical-align:middle;" />,且.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)線段的長(zhǎng)為多少時(shí),與平面所成的角為?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(12分)在四棱錐中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,平面ABCD,PA=AB,M,N分別為PB,AC的中點(diǎn),
(1)求證:MN //平面PAD (2)求點(diǎn)B到平面AMN的距離
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,以頂點(diǎn) A為端點(diǎn)的三條棱 長(zhǎng)都等于1,兩兩夾角都是60°,求對(duì)角線AC1的長(zhǎng)度. (10分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
( 12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)面是正三角形,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面平面為的中點(diǎn).
①求證:平面;
②求直線與平面所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分) 如圖,已知平面∩平面=AB,PQ⊥于Q,PC⊥于C,CD⊥于D.
(1)求證:P、C、D、Q四點(diǎn)共面;
(2)求證:QD⊥AB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四棱錐的底面為矩形,且,
,,(Ⅰ)平面與平面是否垂直?并說(shuō)明理由;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)如圖,平面平面,是以為斜邊的等腰直角三角形,分別為,,的中點(diǎn),,.
(1)設(shè)是的中點(diǎn),證明:平面;
(2)在內(nèi)是否存在一點(diǎn),使平面,若存在,請(qǐng)找出點(diǎn)M,并求FM的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖(1)在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E、F、G分別是PC、PD、BC的中點(diǎn),現(xiàn)將△PDC沿CD折起,使平面PDC⊥平面ABCD(如圖2)
(1)求二面角G-EF-D的大;
(2)在線段PB上確定一點(diǎn)Q,使PC⊥平面ADQ,并給出證明過(guò)程.
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