Question

11．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=2，點E在棱AB上移動．
（1）當AE=1時，求證：直線D₁E⊥平面A₁DC₁；
（2）在（1）的條件下，求${V_{{C_1}-{A_1}DE}}：{V_{{C_1}-{A_1}{D_1}D}}$的值．

Answer 1

分析 （1）建立坐標系，利用向量法證明D₁E⊥DA₁，D₁E⊥DC₁，從而D₁E⊥平面A₁DC₁；
（2）使用等體積法求出D₁到平面A₁DC₁的距離．從而得出E到平面A₁DC₁的距離，于是兩棱錐的體積比等于高的比．

解答 （1）證明：以D為原點，以DC，DA，DD₁為坐標軸建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A₁（0，2，2），D₁（0，0，2），C₁（4，0，2），E（1，2，0），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，2，-2），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（4，0，2），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=0+4-4=0，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=4+0-4=0，
∴D₁E⊥DA₁，D₁E⊥DC₁，又DA₁∩DC₁=D，DA₁?平面A₁DC₁，DC₁?平面A₁DC₁．
∴D₁E⊥平面A₁DC₁．
（2）解：由題意可知A₁C₁=DC₁=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，A₁D=2$\sqrt{2}$，D₁E=3．
∴C₁到A₁D的距離h=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴S${\;}_{△{A}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=6，
設D₁到平面A₁DC₁的距離為d₁，則V${\;}_{{D}_{1}-{A}_{1}D{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}D{C}_{1}}•d$=2d₁，
又V${\;}_{{D}_{1}-{A}_{1}D{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-AD{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×4$=$\frac{8}{3}$，∴2d₁=$\frac{8}{3}$，即d₁=$\frac{4}{3}$．
設E到平面A₁DC₁的距離為d₂，則d₂=D₁E-d₁=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴${V_{{C_1}-{A_1}DE}}：{V_{{C_1}-{A_1}{D_1}D}}$=d₂：d₁=5：4．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．