Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值，并求出取最值時x的值．

Answer 1

分析：（1）由三角函數(shù)的周期公式，可得f（x）的最小正周期T=π．再根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由

π

8

≤x≤

3π

4

可得0≤2x-

π

4

≤

5π

4

，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計算，即可求出函數(shù)在[

π

8

，

3π

4

]上的最小值、最大值，并且得到相應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
得-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]（k∈Z）；
（2）由

π

8

≤x≤

3π

4

，得0≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x-

π

4

）≤1，
由此可得：當2x-

π

4

=

5π

4

時，即x=

3π

4

時，函數(shù)的最小值[f（x）]_min=

2

×(-

2

2

)=-1；
當2x-

π

4

=

π

2

時，即x=

3π

8

時，函數(shù)的最大值[f（x）]_max=

2

×(-

2

2

)=

2

．

點評：本題給出正弦型三角函數(shù)表達式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值．著重考查了三角函數(shù)的周期公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的最值求法等知識，屬于中檔題．