Question

2．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C_l中，M，N分別為CC₁，A₁B₁的中點．CA⊥CB₁，CA=CB₁，BA=BC=BB₁．
（Ⅰ）求證：直線MN∥平面CAB₁；
（Ⅱ）求證：直線BA₁⊥平面CAB₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設A₁B與AB₁交于點O，連接CO，ON．只需證明四邊形CMNO是平行四邊形，即可得MN∥CO．直線NM∥平面CAB₁
（Ⅱ）只需證明CO⊥AB₁，BA₁⊥CO．即可證得直線BA₁⊥平面CAB₁

解答 證明：（Ⅰ）設A₁B與AB₁交于點O，連接CO，ON．
因為四邊形ABB₁A₁是平行四邊形，所以是O是AB₁的中點，又N是A₁B₁的中點，
所以．ON$∥A{A}_{1}，ON=\frac{1}{2}A{A}_{1}$
又因為M是CC₁的中點，所以$CM∥A{A}_{1}，CM=\frac{1}{2}A{A}_{1}$．
所以四邊形CMNO是平行四邊形，所以MN∥CO．
又因為MN?平面CAB₁，CO?CAB₁平面，
所以直線NM∥平面CAB₁．…（6分）
（Ⅱ）因為BA=BB₁，所以平行四邊形ABB₁A₁是菱形，所以BA₁⊥AB₁．
因為CA=CB₁，O是AB₁的中點，所以CO⊥AB₁，
又CA⊥CB₁，∴CO=AO．
又因為BA=BC，所以△BOC≌△BOA，
所以∠BOC=∠BOA，故BO⊥CO，即BA₁⊥CO．
又AB₁∩CO=O，AB₁?平面CAB₁，CO?平面CAB₁，
所以直線BA₁⊥平面CAB₁．…（12分）

點評 本題考查了空間線面平行，線面垂直的判定，屬于中檔題．