Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx．
（1）求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）設(shè)g(x)=

1

a(1-x)

f(x)，對(duì)任意x∈（0，1），g（x）＜-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=（x+1）lnx定義域?yàn)椋?，+∞），由f′(x)=lnx+

1+x

x

，知f′（1）=2，且切點(diǎn)為（1，0，由此能求出f（x）在x=1處的切線方程．
（2）由已知a≠0，因?yàn)閤∈（0，1），所以

1+x

1-x

•lnx＜0．當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）＞0，不合題意．當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，1），由g（x）＜-2，得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）函數(shù)f（x）=（x+1）lnx定義域?yàn)椋?，+∞），…（1分）
∵f′(x)=lnx+

1+x

x

，
∴f′（1）=2，且切點(diǎn)為（1，0）…（4分）
故f（x）在x=1處的切線方程y=2x-2．…-（6分）
（2）由已知a≠0，因?yàn)閤∈（0，1），
所以

1+x

1-x

•lnx＜0．
①當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）＞0，不合題意．…（8分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，1），
由g（x）＜-2，得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0．
設(shè)h(x)=lnx+

2a(1-x)

1+x

，
則x∈（0，1），h（x）＜0.h′(x)=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

．
設(shè)m（x）=x²+（2-4a）x+1，
方程m（x）=0的判別式△=16a（a-1）．
若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0，
h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，又h（1）=0，
所以x∈（0，1），h（x）＜0．…（10分）
若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1-a）＜0，
所以存在x₀∈（0，1），使得m（x₀）=0，
對(duì)任意x∈（x₀，1），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x₀，1）上是減函數(shù)，
又h（1）=0，所以x∈（x₀，1），h（x）＞0．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查切線方程的求法和求實(shí)數(shù)的取值范圍，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．