Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且BE=CF=3．
（1）求B₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切值；
（2）求證：B₁F⊥D₁E．

Answer 1

分析：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD⊥平面BCC₁B₁，連接B₁C，則∠FB₁C為B₁F與平面BCC₁B₁所成的角，在直角三角形B₁CF，求出tan∠FB₁C即可；
（2）因?yàn)槭钦�方體，又是空間垂直問(wèn)題，所以易采用向量法，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，欲證B₁F⊥D₁E，只須證

D1E

•

B1F

=0再用向量數(shù)量積公式求解即可

解答：解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD⊥平面BCC₁B₁，
連接B₁C，則∠FB₁C為B₁F與平面BCC₁B₁所成的角，…（4分）
又∠B₁CF=90°，CF=3，B1C=4

2

，
所以tan∠FB1C=

CF

B1C

=

3 2

8

、…（6分）
（2）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA、DC、DD₁分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則D₁（0，0，4），E（1，4，0），F(xiàn)（0，1，0），B₁（4，4，4），

D1E

=(1， 4，-4)，

B1F

=(-4， -3，-4)，…（11分）
計(jì)算得

D1E

•

B1F

=0，所以B₁F⊥D₁E．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量語(yǔ)言表述線線的垂直、平行關(guān)系、向量法在求線線的垂直的應(yīng)用，在研究空間線線的垂直時(shí)，要首選向量法，方便靈活，是�？碱愋停瑢僦袡n題．