【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣x2﹣ax.
(1)若曲線y=f(x)在點x=0處的切線斜率為1,求函數(shù)f(x)在[0,1]上的最值;
(2)令g(x)=f(x)+ (x2﹣a2),若x≥0時,g(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當a=0且x>0時,證明f(x)﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1.
【答案】
(1)解:∵f′(x)=ex﹣2x﹣a,∴f′(0)=1﹣a=1,∴a=0,
∴f′(x)=ex﹣2x,記h(x)=ex﹣2x,∴h′(x)=ex﹣2,令h′(x)=0得x=ln2.
當0<x<ln2時,h′(x)<0,h(x)單減;當ln2<x<1時,h′(x)>0,h(x)單增,
∴h(x)min=h(ln2)=2﹣2ln2>0,
故f′(x)>0恒成立,所以f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f(1)=e﹣1.
(2)解:∵g(x)=ex﹣ (x+a)2,∴g′(x)=ex﹣x﹣a.
令m(x)=ex﹣x﹣a,∴m′(x)=ex﹣1,
當x≥0時,m′(x)≥0,∴m(x)在[0,+∞)上單增,∴m(x)min=m(0)=1﹣a.
(i)當1﹣a≥0即a≤1時,m(x)≥0恒成立,即g′(x)≥0,∴g(x)在[0,+∞)上單增,
∴g(x)min=g(0)=1﹣ ≥0,解得﹣
≤a≤
,所以﹣
≤a≤1.
(ii)當1﹣a<0即a>1時,∵m(x)在[0,+∞)上單增,且m(0)=1﹣a<0,
當1<a<e2﹣2時,m(ln(a+2))=2﹣ln(2+a)>0,
∴x0∈(0,ln(a+2)),使m(x0)=0,即e =x0+a.
當x∈(0,x0)時,m(x)<0,即g′(x)<0,g(x)單減;
當x∈(x0,ln(a+2))時,m(x)>0,即g′(x)>0,g(x)單增.
∴g(x)min=g(x0)=e ﹣
(x0+a)2=e
﹣
e
=e
(1﹣
e
)≥0,
∴e ≤2可得0<x0≤ln2,由e
=x0+a,
∴a=e ﹣x0.
記t(x)=ex﹣x,x∈(0,ln2],
∴t′(x)=ex﹣1>0,∴t(x)在(0,ln2]上單調(diào)遞增,
∴t(x)≤t(ln2)=2﹣2ln2,∴1<a≤2﹣2ln2,
綜上,a∈[﹣ ,2﹣ln2].
(3)證明:f(x)﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等價于ex﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1,
即ex﹣ex≥xlnx﹣x+1.
∵x>0,∴等價于 ﹣lnx﹣
﹣e+1≥0.
令h(x)= ﹣lnx﹣
﹣e+1,
則h′(x)= .
∵x>0,∴ex﹣1>0.
當0<x<1時,h′(x)<0,h(x)單減;
當x>1時,h′(x)>0,h(x)單增.
∴h(x)在x=1處有極小值,即最小值,
∴h(x)≥h(1)=e﹣1﹣e+1=0,
∴a=0且x>0時,不等式f(x)﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1成立.
【解析】(1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,解方程可得a,設(shè)h(x)=ex﹣2x,求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,以及最小值,可得f(x)的單調(diào)性,進而得到f(x)的最值;(2)求得g(x)的導(dǎo)數(shù),令m(x)=ex﹣x﹣a,求出單調(diào)區(qū)間和最值,討論(i)當1﹣a≥0即a≤1時,(ii)當1﹣a<0即a>1時,求出單調(diào)性,以及最小值,解不等式即可得到a的范圍;(3)f(x)﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等價于ex﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1,即ex﹣ex≥xlnx﹣x+1.等價于 ﹣lnx﹣
﹣e+1≥0.令h(x)=
﹣lnx﹣
﹣e+1,求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,可得最小值,即可得到證明.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)的值;
(2)判斷函數(shù)在
上的單調(diào)性,并給出證明;
(3)當時,函數(shù)
的值域是
,求實數(shù)
與
的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綠色出行越來越受到社會的關(guān)注,越來越多的消費者對新能源汽車感興趣但是消費者比較關(guān)心的問題是汽車的續(xù)駛里程
某研究小組從汽車市場上隨機抽取20輛純電動汽車調(diào)查其續(xù)駛里程
單次充電后能行駛的最大里程
,被調(diào)查汽車的續(xù)駛里程全部介于50公里和300公里之間,將統(tǒng)計結(jié)果分成5組:
,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
求直方圖中m的值;
求本次調(diào)查中續(xù)駛里程在
的車輛數(shù);
若從續(xù)駛里程在
的車輛中隨機抽取2輛車,求其中恰有一輛車續(xù)駛里程在
的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分分)已知圓
有以下性質(zhì):
①過圓上一點
的圓的切線方程是
.
②若為圓
外一點,過
作圓
的兩條切線,切點分別為
,則直線
的方程為
.
③若不在坐標軸上的點為圓
外一點,過
作圓
的兩條切線,切點分別為
,則
垂直
,即
,且
平分線段
.
(1)類比上述有關(guān)結(jié)論,猜想過橢圓上一點
的切線方程(不要求證明);
(2)過橢圓外一點
作兩直線,與橢圓相切于
兩點,求過
兩點的直線方程;
(3)若過橢圓外一點
(
不在坐標軸上)作兩直線,與橢圓相切于
兩點,求證:
為定值,且
平分線段
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價格(元)與時間
(天)組成有序數(shù)對
,點
落在圖中的兩條線段上;該股票在30天內(nèi)的日交易量
(萬股)與時間
(天)的部分數(shù)據(jù)如下表所示,且
與
滿足一次函數(shù)關(guān)系,
第 | 4 | 10 | 16 | 22 |
| 36 | 30 | 24 | 18 |
那么在這30天中第幾天日交易額最大( )
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在
處的切線過點
.
① 求實數(shù)的值;
② 設(shè)函數(shù),當
時,試比較
與
的大�。�
(2)若函數(shù)有兩個極值點
,
(
),求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),已知曲線
在點
處的切線與直線
平行
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)是否存在自然數(shù),使得方程
在
內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出
;如果不存在,請說明理由。
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)(
表示
中的較小者),求
的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域為的單調(diào)減函數(shù)
是奇函數(shù),當
時,
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的解析式;
(Ⅲ)若對任意的,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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