Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求A的大�。�
（Ⅱ）求sinA+sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△ABC中，由已知，根據(jù)正弦定理得 a²=b²+c²+bc，再由余弦定理求得cosA=-

1

2

，A=120°．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sin（B+60°），根據(jù)60°＜B+60°＜120，求得

3

2

＜sin（B+60°）≤1，從而求得sinB+sinC的取值范圍．再由sinA=

3

2

，可得 sinA+sinB+sinC的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）△ABC中，由已知，根據(jù)正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，即 a²=b²+c²+bc． 由余弦定理得 
  a²=b²+c²-2bc•cosA，故  cosA=-

1

2

，∴A=120°．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB=sin（B+60°）．
因?yàn)?0°＜B＜60°，所以，60°＜B+60°＜120，∴

3

2

＜sin（B+60°）≤1，
故 sinB+sinC的取值范圍是 （ 

3

2

，1]．
再由sinA=sin120°=

3

2

，可得 sinA+sinB+sinC的取值范圍為 （

3

，1+

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理，兩角和差的正公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題