Question

20．如圖甲，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)，將△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，如圖乙．

（1）證明：CD⊥平面A₁OC；
（2）若平面A₁BE⊥平面BCDE，求BC與平面A₁CD所成的角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明：CD⊥平面A₁OC；
（2）若平面A₁BE⊥平面BCDE，利用等體積即可求BC與平面A₁CD所成的角．．

解答 （1）證明：在圖甲中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點(diǎn)，∠BAD=$\frac{π}{2}$，
∴BE⊥AC，即在圖乙中，BE⊥OA₁，BE⊥OC．

又OA₁∩OC=O，∴BE⊥平面A₁OC．
∵BC∥DE，BC=DE，
∴BCDE是平行四邊形，
∴CD∥BE，∴CD⊥平面A₁OC．   …（6分）
（2）解：由題意，CD=BE=$\sqrt{2}$，平面A₁BE⊥平面BCDE，
∴OA₁⊥平面BCDE，∴OA₁⊥OC
∴A₁C=1
∵BE⊥平面A₁OC，∴BE⊥A₁C
∵CD∥BE，∴CD⊥A₁C．
設(shè)B到平面A₁CD的距離為d，
由∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}d=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}sin\frac{3π}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴d=$\frac{1}{2}$，故B到平面A₁CD的距離為$\frac{1}{2}$，
∴BC與平面A₁CD所成的角為30°．         …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面立體轉(zhuǎn)化的問(wèn)題，運(yùn)用好折疊之前，之后的圖形，對(duì)于空間直線平面的位置關(guān)系的定理要很熟練．