Question

已知曲線，
（1）求曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程；
（2）求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程；
（3）求斜率為4的曲線的切線方程．

Answer 1

解：（1）∵P（2，4）在曲線上，且y'=x²
∴在點(diǎn)P（2，4）處的切線的斜率k=y'|_x=2=4；
∴曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程為y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
（2）設(shè)曲線與過點(diǎn)P（2，4）的切線相切于點(diǎn)A（x₀，），
則切線的斜率，
∴切線方程為y-（）=x₀²（x-x₀），
即
∵點(diǎn)P（2，4）在切線上，
∴4=2x₀²-，即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0．
（3）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀）
則切線的斜率為k=x₀²=4，x₀=±2．切點(diǎn)為（2，4），（-2，-）
∴切線方程為y-4=4（x-2）和y+=4（x+2）
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0．
分析：（1）根據(jù)曲線的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線的斜率，根據(jù)P的坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線的方程即可；
（2）設(shè)出曲線過點(diǎn)P切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到（1）求出的導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率，寫出切線的方程，把P的坐標(biāo)代入切線方程即可得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線方程即可；
（3）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，由切線的斜率為4，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中求出的函數(shù)值等于4列出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入曲線方程即可求出相應(yīng)的縱坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率分別寫出切線方程即可．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，是一道綜合題．學(xué)生在解決此類問題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過某點(diǎn)的切線”；同時解決“過某點(diǎn)的切線”問題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決．