若定義在[-2010,2010]上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意x1,x2∈[-2010,2010]有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2009,且x>0時(shí)有f(x)>2009,f(x)的最大值、最小值分別為M、N,則M+N=


  1. A.
    2009
  2. B.
    2010
  3. C.
    4020
  4. D.
    4018
D
分析:令g(x)=f(x)-2009,則由已知可得f(x1+x2)-2009=[f(x1)-2009]+[f(x2)-2009],即g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)且 x>0時(shí),g(x)>0,,利用賦值可求g(0)=0;令x1=x,x2=-x,,可得 g(-x)=-g(x),即 g(x)是奇函數(shù),從而有若 g(x) 最大值為m,則最小值為-m,可得f(x)=g(x)+2009 得 f(x) 最大值為m+2009,最小值為-m+2009,代入可求
解答:令g(x)=f(x)-2009,則由已知對(duì)任意x1,x2∈[-2010,2010]有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2009,
f(x1+x2)-2009=[f(x1)-2009]+[f(x2)-2009],
可得g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)且 x>0時(shí),g(x)>0
令x1=x2=0可得g(0)=0
令x1=x,x2=-x,則可得g(0)=g(-x)+g(x)=0,則 g(-x)=-g(x),所以 g(x)是奇函數(shù)
若 g(x) 最大值為m,則最小值為-m
因此,由f(x)=g(x)+2009 得 f(x) 最大值為m+2009,最小值為-m+2009,
所以 M+N=m+2009+(-m)+2009=4018
故選D
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造整體求解,屬于中檔題.
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A.2009
B.2010
C.4020
D.4018

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A.2009
B.2010
C.4020
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