Question

 

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點(diǎn)

   （1）求直線B₁C與DE所成角的余弦值；

   （2）求證：平面EB₁D⊥平面B₁CD;

   （3）求二面角E-B₁C-D的余弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

 解:（1）連結(jié)A₁D,則由A₁D∥B₁C知,B₁C與DE所成角即為A₁D與DE所成角．連結(jié)A₁E,由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，可設(shè)其棱長(zhǎng)為a,則

         

∴直線B₁C與DE所成角的余弦值是．  ………4分

   （2）取B₁C的中點(diǎn)F,B₁D的中點(diǎn)G,連結(jié)BF,EG,GF．

∵CD⊥平面BCC₁B₁，且BF平面BCC₁B₁，∴DC⊥BF． 

又∵BF⊥B₁C，CD∩B₁C=C，∴BF⊥平面B₁CD

又∵GFCD，BECD，∴GFBE,

∴四邊形BFGE是平行四邊形，∴BF∥GE,∴GE⊥平面B₁CD．

∵CE平面EB₁D,∴平面EB₁D⊥B₁CD．           ………8分

（3）連結(jié)EF．∵CD⊥B₁C，GF∥CD，∴GF⊥B₁C． 

又∵GE⊥平面B₁CD, ∴EF⊥B₁C，

∴∠EFG是二面角E-B₁C-D的平面角．

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則在△EFG中，GF=a,EF=a,

∴

∴二面角E-B₁C-D的余弦值為．………12分