Question

如圖，已知三角形△ABC與△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，點P，Q分別在線段BD，CD上，沿直線PQ將△PQD向上翻折，使D與A重合．
（Ⅰ）求證：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求直線AP與平面ACQ所成的角．

Answer 1

分析：（I）由已知中面ABC⊥面BCQ，及=∠BCD=90°，我們根據面面垂直的性質定理，我們易得CQ⊥面ABC，進而根據線面垂直的定義，即可得到AB⊥CQ；
（Ⅱ）以BC的中點O，BD的中點E，如圖以OB所在直線為x軸，以OE所在直線為y軸，以OA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，求出各頂點的坐標，進而求出直線AP的方向向量及平面ACQ的法向量，根據向量法求線面夾角的步驟，即可得到答案．

解答：（I）證明：∵面ABC⊥面BCQ
又CQ⊥BC
∴CQ⊥面ABC
∴CQ⊥AB（5分）
（Ⅱ）解：取BC的中點O，BD的中點E，如圖以OB所在直線為x軸，以OE所在直線為y軸，以OA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系．（6分）
不妨設BC=2，則A（0，0，1），D（-1，2，0），P（x，1-x，0），（8分）
由|AP|=|DP|即x²+（1-x）²+1=（x+1）²+（x+1）²，
解得x=0，所以P（0，1，0），（10分）
故

AP

=（0，1，-1）
設

n

=（x，y，z）為平面ACQ的一個法向量，
因為

AC

=（-1，0，-1），

CQ

=λ

OE

=λ（0，1，0）
由

n • AC =0 n • CQ =0

即

-x-z=0 2y=0

所以

n

=（1，0，-1）（12分）
設直線AP與平面ACQ所成的角為α
則Sinα=|cos＜AP，n＞|=

1

2

所以α=

π

6

即直線AP與平面ACQ所成的角為V（14分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，直線與平面垂直的性質，直線與平面所成的角，熟練掌握空間向量法求線線夾角、線面夾角及兩面角的方法步驟是解答此類問題的關鍵．