已知雙曲線C:的一個焦點是F2(2,0),且
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過焦點F2的直線l的一個法向量為(m,1),當(dāng)直線l與雙曲線C的右支相交于A,B不同的兩點時,求實數(shù)m的取值范圍;并證明AB中點M在曲線3(x-1)2-y2=3上.
(3)設(shè)(2)中直線l與雙曲線C的右支相交于A,B兩點,問是否存在實數(shù)m,使得∠AOB為銳角?若存在,請求出m的范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)半焦距c和a與b的關(guān)系聯(lián)立方程求得a和b,則雙曲線方程可得.
(2)把直線l與雙曲線方程聯(lián)立消去y,根據(jù)判別式大于0判斷出直線與雙曲線定有交點,進而根據(jù)韋達(dá)定理求得焦點橫坐標(biāo)的和與積得表達(dá)式,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求得m的范圍.設(shè)A,B的坐標(biāo),則可知其中點的坐標(biāo),代入曲線3(x-1)2-y2=3等式成立,可判斷出AB的中點在此曲線上.
(3)設(shè)存在實數(shù)m,使∠AOB為銳角,根據(jù)判斷出x1x2+y1y2>0,根據(jù)(2)中求得x1x2的表達(dá)式,進而可去知y1y2的表達(dá)式,進而求得根據(jù)x1x2+y1y2>0求得m的范圍,結(jié)果與m2>3矛盾,假設(shè)不成立,判斷出這樣的實數(shù)不存在.
解答:解:(1)c=2c2=a2+b2
∴4=a2+3a2∴a2=1,b2=3,∴雙曲線為
(2)l:m(x-2)+y=0由得(3-m2)x2+4m2x-4m2-3=0
由△>0得4m4+(3-m2)(4m2+3)>012m2+9-3m2>0即m2+1>0恒成立


∴m2>3∴
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則


∴M在曲線3(x-1)2-y2=3上.

(3)A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)存在實數(shù)m,使∠AOB為銳角,
∴x1x2+y1y2>0
因為y1y2=(-mx1+2m)(-mx2+2m)=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2
∴(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2>0
∴(1+m2)(4m2+3)-8m4+4m2(m2-3)>0即7m2+3-12m2>0
,與m2>3矛盾
∴不存在
點評:本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運算能力.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過焦點的直線的一個法向量為,當(dāng)直線與雙曲線C的右支相交于不同的兩點時,求實數(shù)的取值范圍;并證明中點在曲線上。
(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線C的右支相交于兩點,問是否存在實數(shù),使得為銳角?若存在,請求出的范圍;若不存在,請說明理由。

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(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(2)小題8分)

已知雙曲線C:的一個焦點是,且。

(1)求雙曲線C的方程;

(2)設(shè)經(jīng)過焦點的直線的一個法向量為,當(dāng)直線與雙曲線C的右支相交于不同的兩點時,求實數(shù)的取值范圍;并證明中點在曲線上。

(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線C的右支相交于兩點,問是否存在實數(shù),使得為銳角?若存在,請求出的范圍;若不存在,請說明理由。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省揭陽一中高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知雙曲線c:的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合,且雙曲線的離心率為
(1)求雙曲線的方程;
(2)若有兩個半徑相同的圓c1,c2,它們的圓心都在x軸上方且分別在雙曲線c的兩漸近線上,過雙曲線的右焦點且斜率為-1的直線l與圓c1,c2都相切,求兩圓c1,c2圓心連線斜率的范圍.

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