Question

【題目】已知，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）設（其中為的導函數(shù)），判斷在上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若無零點，試確定正數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

(1) 在定義域內(nèi)恒正，則在上單調(diào)遞增.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論分類討論：

①當時，不符合題意；

②當時，不符合題意；

③當時， 沒有零點.

綜上所述，正數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）因為，則， ，

所以，所以在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）由知，

由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，且，可知當時， ，

則有唯一零點，設此零點為.

易知時， ， 單調(diào)遞增； 時， ， 單調(diào)遞減，

故，其中.

令，則，

易知在上恒成立，所以， 在上單調(diào)遞增，且.

①當時， ，由在上單調(diào)遞增知，

則，由在上單調(diào)遞增， ，所以，故在上有零點，不符合題意；

②當時， ，由的單調(diào)性知，則，此時有一個零點，不符合題意；

③當時， ，由的單調(diào)性知，則，此時沒有零點.

綜上所述，當無零點時，正數(shù)的取值范圍是.