Question

（2010•江西模擬）在△ABC中，A（-cosx，cos2x），B(-

3

sinx，-cosx)，C（λ，1），0≤x≤π，若△ABC的重心在y軸的負(fù)半軸上．
（1）求x的取值范圍；（2）求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題知，△ABC的重心G在y軸的負(fù)半軸上，故其橫坐標(biāo)為0，縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，利用重心坐標(biāo)公式，用三個頂點的坐標(biāo)表示出重心的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的符號建立不等式，解出x的取值范圍；
（2）由（1）得λ=

3

sinx+cosx，

π

3

＜x＜

π

2

，先利用正弦的和角公式化簡，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出λ的 取值范圍

解答：解：（1）△ABC的重心G在y軸的負(fù)半軸上．
則

-cosx- 3 sinx+λ

3

=0，且

cos2x-cosx+1

3

＜0，0≤x≤π
所以  2cos²x-1-cosx+1＜0，即cosx（2cosx-1）＜0，0＜cosx＜

1

2

，故

π

3

＜x＜

π

2

（2）λ=

3

sinx+cosx=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)=2sin(x+

π

6

)
∵

π

3

＜x＜

π

2

，

π

2

＜x+

π

6

＜

2

3

π，

3

2

＜sin(x+

π

6

)＜1，

3

＜2sin(x+

π

6

)＜2
故

3

＜λ＜2λ的取值范圍是(

3

，2)

點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的重心公式及三角函數(shù)的恒等變換公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性等，本題是三角函數(shù)公式的綜合運用題，考查了運用公式變形的能力